Question

公因数只有1的两个数，叫做互质数．例如：2与7互质，1与4互质．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列α₁•α₂•α₃•α₄•α₅•α₆•α₇中，使相邻两数都互质的不同排列方式共有（ ）种．
A．576
B．720
C．864
D．1152

Answer

根据题意，分析可得1、5、7这三个数与任意的数互质，可以放在任意位置，最先安排这三个数，2、4、6这三个数两两有公约数，彼此不能相邻，3与6也不能相邻，则对2、4、6和3这四个数，分两种情况讨论：①3不2、4在中间，②3在2、4之间，分别求出每种情况的排法数目，有分类计数原理可得2、4、6和3这四个数的排法数目，进而由分步计数原理，计算可得答案．
【解析】
根据题意，先排1、5、7，有A33=6种情况，排好后有4个空位，
对于2、4、6和3这四个数，
分两种情况讨论：①3不2、4在中间，可先将2、4、6排在4个空位中，有A43=24种情况，3不能放在6的两边，有5种排法，则此时有24×5=120种不同的排法，
②3在2、4之间，将这三个数看成整体，有2种情况，与6一起排在4个空位中，有A42=12种情况，则此时有2×12=24种不同的排法，
则2、4、6和3这四个数共有120+24=144种排法；
则使相邻两数都互质的不同排列方式共有6×144=864种；
故选C．