Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=4，PA=3，点A在PD上的射影为点G，点E在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（1）求证：AG∥平面PEC；
（2）求AE的长；
（3）求二面角E-PC-A的正弦值．

Answer

（1）先证明AG⊥平面PCD，作EF⊥PC于F，再证EF⊥平面PCD，可得EF∥AG．在应用直线和平面平行的判定定理证得 AG∥平面PEC．
（2）先证明四边形AEFG为平行四边形，AE=GF，求得PG=，再由 =，求得GF的值，可得AE的值．
（3）过E作EO⊥AC于点O，证得∠EFO即为二面角E-PC-A的平面角． 求出EO=AE•sin45°的值，又EF=AG=，由sin∠EFO==×，运算求得结果．
【解析】
（1）证明：∵正方形ABCD中，CD⊥AD，由PA⊥平面ABCD可得CD⊥PA，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AG．
又PD⊥AG∴AG⊥平面PCD．  …（2分）
作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD，∴EF⊥平面PCD，∴EF∥AG．
又AG不在面PEC内，而EF⊂面PEC，∴AG∥平面PEC．  …（4分）
（2）由（Ⅰ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD，∴AE∥平面PCD，∴AE∥GF．
∴四边形AEFG为平行四边形，∴AE=GF．    …（5分）
∵PA=3，AB=4，∴PD=5，AG=．
又PA2=PG•PD，∴PG=． …（7分）
又 =，∴GF==，∴AE=． …（9分）
（3）过E作EO⊥AC于点O，易知EO⊥平面PAC．
又EF⊥PC，∴OF⊥PC，∴∠EFO即为二面角E-PC-A的平面角． …（11分）
EO=AE•sin45°=•=，又EF=AG=，
∴sin∠EFO==×=．     …（14分）