Question

设函数f（x）=xe^kx（k≠0）．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当k＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）在区间（-1，1）内单调递增，求k的取值范围．

Answer

（1）利用导数的几何意义求切线方程即可．（2）利用导数研究函数的单调性．（3）要使f（x）在区间（-1，1）内单调递增，则f'（x）≥0成立即可．
【解析】
（1）因为f'（x）=（1+kx）ekx，f'（0）=1，f（0）=1．
所以曲线y=f（x）在点（0，f （0））处的切线方程为y=x．…．（4分）
（2）由f'（x）=（1+kx）ekx=0得1+kx=0，即．…．（5分）
①若k＞0，则当x＜时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．
当x＞时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．…．（7分）
②若k＜0，则当x＜时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
当x＞时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．…..（9分）
所以当k＞0时，函数的减区间为（-∞，），增区间为（，+∞）．
当k＜0时，函数的增区间为（-∞，），减区间为（，+∞）．
（3）由（II）知，若k＞0，则当且仅当≤-1，即k≤1，f（x）在区间（-1，1）内单调递增；…（11分）
若k＜0，则当且仅当≥1，即k≥-1．
综上可知，f（x）在区间（-1，1）内单调递增时，k的取值范围是[-1，0）∪（0，1]．