Question

已知点P是圆F₁：（x+1）²+y²=8上任意一点，点F₂与点F₁关于原点对称．线段PF₂的中垂线m分别与PF₁、PF₂交于M、N两点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）斜率为1的直线l与曲线C交于A，B两点，若=0（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer

（1）由题意判断点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，进而可求点M的轨迹C的方程；
（2）设直线l的方程为y=x+n，代入椭圆方程，利用△＞0及韦达定理，结合=0，即可求得直线l的方程．
【解析】
（1）由题意得，F1（-1，0），F2（1，0），圆F1的半径为，且|MF2|=|MP|…（1分）
从而…（3分）
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，…（5分）
其中长轴，得到，焦距2c=2，则短半轴b=1
椭圆方程为：…（6分）
（2）设直线l的方程为y=x+n，由
可得3x2+4nx+2n2-2=0…（8分）
则△=16n2-24（n2-1）＞0，即n2＜3①…（9分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
由可得x1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+n）（x2+n）=0…（10分）
整理可得
化简可得3n2=4，满足①式，故直线]l的方程为：…（12分）