Question

已知椭圆C₁与双曲线C₂有共同的焦点F₁（-2，0），F₂（2，0），椭圆的一个短轴端点为B，直线F₁B与双曲线的一条渐近线平行，椭圆C₁与双曲线C₂的离心率分别为e₁，e₂，则e₁+e₂取值范围为（ ）
A．（2，+∞）
B．（4，+∞）
C．（4，+∞）
D．（2，+∞）

Answer

设椭圆的长轴为2a，短轴为2b；双曲线的实轴为2a'，虚轴为2b'．由椭圆、双曲线的基本概念，结合直线平行的条件，建立关系式化简可得，即，可得e1•e2=1．由此结合基本不等式求最值，即可算出e1+e2取值范围．
【解析】
设椭圆的长轴为2a，短轴为2b；双曲线的实轴为2a'，虚轴为2b'
∵椭圆的一个短轴端点为B，直线F1B与双曲线的一条渐近线平行，
∴，平方可得
由此得到，即，
也即，可得e1•e2=1
∵e1、e2都是正数，∴e1+e2≥2=2，且等号不能成立
因此e1+e2取值范围为（2，+∞）
故选：D