Question

已知等比数列{a_n}中，a₁=2，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项的和．

Answer

（1）设数列{an}的公比为为q，依题意可得2+2q2=4q+2，解之可得q的值，从而可得数列{an}的通项公式；
（2）设数列{nan}的前n项的和为Sn，则Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，利用错位相减法即可求得Sn．
【解析】
（1）设数列{an}的公比为为q，依题意，a2=2q，a3=2q2；
∵a1，a2+1，a3成等差数列，
∴a1+a3=2（a2+1），
∴2+2q2=4q+2，
解得q=2或q=0，
∵q≠0，
∴q=2，an=2•2n-1=2n…（5分）
（2）设数列{nan}的前n项的和为Sn，
则Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n（1）
2Sn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n×2n+1（2）…（8分）
（1）-（2）得：
-Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1
=-n×2n+1
=-2-（n-1）×2n+1，
∴Sn=（n-1）×2n+1+2…（14分）