Question

已知△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=120°，D为AB的中点，E，F分别在线段AC，BC上，且EF∥AB，EF交CD于G，把△ADC沿CD折起，如图所示，

（1）求证：E₁F∥平面A₁BD；
（2）当二面角A₁-CD-B为直二面角时，是否存在点F，使得直线A₁F与平面BCD所成的角为60°，若存在求CF的长，若不存在说明理由．

Answer

（1）根据同一平面内CD⊥AB且EF⊥CD，证出EF∥CD．由此可得GE1∥DA1且GF∥BD，从而得到GE1∥平面A1BD且
GF∥平面A1BD，结合面面平行判定定理得到平面E1FG∥平面A1BD，即可得到E1F∥平面A1BD；
（2）由面面垂直的判定与性质，证出A1D⊥平面BCD，得A1F在平面BCD内的射影为DF，∠A1FD就是A1F与平面BCD所成角，即∠A1FD=60°．Rt△A1FD中，由A1D=，算出DF=1=CD，进而得到△CDF为等边三角形，可得CF=1，即存在满足条件的点F．
【解析】
（1）∵AC=BC，且D为AB的中点，∴CD⊥AB，
又∵EF∥AB，∴EF⊥CD…（2分）
在空间几何体C-A1BD中，
∵GE1∥DA1，GE1⊄平面A1BD，DA1⊂平面A1BD，∴GE1∥平面A1BD
同理可得：GF∥平面A1BD
∵GE1、GF是平面E1FG内的相交直线，
∴平面E1FG∥平面A1BD…（5分）
∵E1F⊂平面E1FG，∴E1F∥平面A1BD…（7分）
（2）∵二面角A1-CD-B为直二面角，∴平面A1CD⊥平面BCD
∵A1D⊥CD，平面A1CD∩平面BCD=CD，A1D⊂平面A1CD
∴A1D⊥平面BCD，…（9分）
可得A1F在平面BCD内的射影为DF，得∠A1FD就是A1F与平面BCD所成角，
即∠A1FD=60°…（11分）
∵Rt△A1FD中，A1D=，∴DF=1=CD
∵△CDF中，∠DCF=60°，∴△CDF为等边三角形，可得CF=1．
因此，存在点F使得直线A1F与平面BCD所成的角为60°，此时CF的长为1．…（14分）