Question

已知函数f（x）=x³-a²x+2a，（a＞0）
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若在区间[0，2]上恒有f（x）≥-，求a的取值范围．

Answer

（1）先对函数f（x）进行求导，令导函数大于0可求函数的增区间，令导函数小于0可求函数的减区间．
（2）在区间[0，2]上恒有f（x）≥-，等价于x∈[0，2]时f（x）min≥-，借助（1）问函数的单调性可求其最小值．
【解析】
（1）f'（x）=x2-a2=（x-a）（x+a）（a＞0）
f'（x）＞0⇒x＞a或x＜-a，f'（x）＜0⇒-a＜x＜a…（4分）
∴f（x）在（-∞，-a）和（a，+∞）上都单调递增，在[-a，a]上单调递减；…（6分）
（2）x=-a为函数y=f（x）的极大值点，x=a为函数y=f（x）的极小值点，…（8分）
①当0＜a＜2时，函数y=f（x）在[0，2]上的最小值为f（a）=-a3+2a，
∴-a3+2a，即（a+1）2（a-2）≤0，∴a≤2，又0＜a＜2
∴0＜a＜2…（11分）
②当a≥2时，函数y=f（x）在[0，2]上的最小值为f（2）=，
∴，∴-1≤a≤2
又a≥2，∴a=2，…（14分）
综上，0＜a≤2．…（15分）．