Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，满足不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3），且方程f（x）+6a=0有两个相等实根，求f（x）的解析式．

Answer

依据不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3），可设函数f（x）-2x的解析式为f（x）+2x=a（x-1）（x-3），得出f（x）的解析式．再利用f（x）+6a=0有两个相等的实数根，通过△=0求出a的值最后代入f（x）即可得出答案．
【解析】
∵f（x）与f（x）+2x的二次项系数相等，
∴f（x）+2x的二次项系数为a．
又∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3），
∴设f（x）+2x=a（x-1）（x-3）（a＜0），
∴f（x）=a（x2-4x+3）-2x=ax2-（4a+2）x+3a．
∵方程f（x）+6a=0有两个相等实根
∴ax2-（4a+2）x+9a=0有两个相等实根．
∴[-（4a+2）]2-36a2=0，解得a=1（舍去），
∴