Question

已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）-b 是奇函数”．
（1）将函数g（x）=x³-3x²的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；
（2）求函数h（x）=图象对称中心的坐标．

Answer

（1）根据函数图象的平移变换法则，求出平移后函数的解析式，并根据奇偶性的性质判断函数为奇函数，结合题目中已知的真命题，可得答案．
（2）设函数h（x）=图象对称中心为P（a，b），由题设知函数f（x）=h（x+a）-b是奇函数．根据奇函数定义域对称及定义可求出a，b的值，得到对称中心坐标．
【解析】
（1）将函数g（x）=x3-3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，
平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3-3（x+1）2+2=x3-3x，
由于函数y=x3-3x是奇函数，
由题设真命题知，函数g（x）图象对称中心的坐标是（1，-2）．
（2）设函数h（x）=图象对称中心为P（a，b），
由题设知函数f（x）=h（x+a）-b是奇函数．
则f（x）=．由不等式＞0的解集关于原点对称，得a=2．
此时f（x）=，x∈（-2，2）．
任取x∈（-2，2），
由f（-x）+f（x）=0，得b=1，
所以函数函数h（x）=图象对称中心为P（2，1）