Question

在直角三角形ABC中，D是斜边BC上的一点，AB=AD，∠CAD=α，∠ABC=β，
（1）求sinα+cos2β的值；
（2）若AC=DC，求β的值．

Answer

（1）由于180°-2β+α=90°，可求得2β=90°+α，利用诱导公式可求得sinα+cos2β；
（2）在△ACD中利用正弦定理可求得sinβ=，从而可求得β的值．
【解析】
（1）由180°-2β+α=90°得2β-α=90°，
∴sinα+cos2β=sinα+cos（90°+α）=0．…（6分）
（2）在△ACD中由正弦定理得，
AC：DC=sin（180°-β）：sinα，又因为AC=DC，
∴sinβ=sinα，
又∵sinα+cos2β=0，
∴2sin2β-sinβ-1=0，
∴sinβ=，
又∵0＜β＜，
∴β=…（12分）