Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞-成立．

Answer

（1）讨论与区间[t，t+2]（t＞0）的关系，利用导数研究函数的单调性就看得出；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，即-x2+ax-3≤2xlnx≤0，x∈（0，+∞）．
⇔恒成立，x∈（0，+∞）．⇔a≤，x∈（0，+∞）．
利用导数求出其最小值即可．
（3）变形为：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞-成立⇔．利用导数分别求出即可．
【解析】
（1）f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得．∴f（x）在上单调递减，在上单调递增．
∵x∈[t，t+2]（t＞0），
①当时，f（x）在[t，t+2]（t＞0）上单调递增，∴f（x）在x=t时取得最小值，f（t）=tlnt；
②当时，f（x）在x=取得最小值，=；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，即-x2+ax-3≤2xlnx≤0，x∈（0，+∞）．
⇔恒成立，x∈（0，+∞）．⇔a≤，x∈（0，+∞）．
令u（x）=，x∈（0，+∞）．
则==，可知当且仅当x=1时，u（x）取得最小值，且u（1）=4．
∴a≤4．
（3）对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞-成立⇔．
令，（x＞0）．
∵，可知当且仅当x=1，u（x）取得最大值，且u（1）=．
由（1）可知：（xlnx）min（x＞0）=，而．
因此．
即对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞-成立．