Question

数列{a_n}的前n项和为s_n，S_n+a_n=-n²-n+1（n∈N^﹡）．
（Ⅰ）设b_n=a_n+n，证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{nb_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）由Sn+an=-n2-n+1知，n=1时可求得a1；当n≥2时，有an-1+Sn-1=-（n-1）2-（n-1）+1，两式相减可求得bn=bn-1（n≥2），利用等比数列的定义可证数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=，Tn=++++…++，利用错位相减法即可求得Tn．
【解析】
（Ⅰ）因为Sn+an=-n2-n+1，
所以①当n=1时，2a1=-1，则a1=-，…（1分）
②当n≥2时，an-1+Sn-1=-（n-1）2-（n-1）+1，…（2分）
所以2an-an-1=-n-1，即2（an+n）=an-1+n-1，…（4分）
所以bn=bn-1（n≥2），而b1=a1+1=，…（5分）
所以数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，
所以bn=．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得nbn=．
所以Tn=++++…++①，
2Tn=1++++…++②，…（8分）
②-①得：Tn=1+++…+-…（10分）
=-
=2-．…（12分）