Question

已知等比数列的公比q＞0，a₁=，且a₁是3a₂与2a₃的等差中项．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=），记数列{b_n}的前n项和为S_n，当n为何值时，S_n取得最大值？

Answer

（1）依题意可求得等比数列{an}的公比q，利用其通项公式即可求得an；
（2）由（1）知an=，于是可求得bn=-n，易证数列{bn}是以为首项，-1为公差的等差数列，从而可求其前n项和Sn．
【解析】
（1）∵等比数列{an}的公比q＞0，a1是3a2与2a3的等差中项，
∴3a1q+2a1q2=2a1，又a1=，
∴q=或q=-2（舍去），
∴an=；
（2）∵bn=+log2an=+log2=-n，
∴bn+1=-（n+1），
∴bn+1-bn=-1，又b1=，
∴数列{bn}是以为首项，-1为公差的等差数列，
∴Sn=b1+b2+…+bn
=n+×（-1）
=-n2+10n．
=-（n-10）2+50，
∴当n=10时，S10取得最大值50．