Question

已知椭圆的离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，C，D为椭圆上位于直线PQ异侧的两个动点，满足∠CPQ=∠DPQ，求证：直线CD的斜率为定值，并求出此定值．

Answer

（Ⅰ）设椭圆C的方程，利用离心率为，焦距为2，求出几何量，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线方程代入椭圆方程，确定x1+x2，x1-x2，即可求得斜率．
【解析】
（Ⅰ）由椭圆的离心率为，焦距为2，a2=b2+c2，
得c=1，a=，
所以，椭圆C的方程为；
（Ⅱ）设C（x1，y1），D（x2，y2），∠CPQ=∠DPQ时，PC，PD的斜率之和为0
设直线PC的斜率为k，则PD的斜率为-k，
由题意知，直线PQ为x=1，不妨令P（1，），Q（1，-）
则PC的直线方程为y-=k（x-1）代入椭圆方程，
可得（1+2k2）x2+2（-2k）kx+（2k2-+1）=0
∴，
同理PD的直线方程为y-=-k（x-1）代入椭圆方程，可得
∴x1+x2==，x1-x2=
∴kCD====，
∴直线CD的斜率为定值 ．