Question

设数列{a_n}满足：a₁=a，a_n+1=）．
（1）若数列{a_n}是无穷常数列，求a的值；
（2）当a∈（0，1）时，对数列{a_n}的任意相邻三项a_n，a_n+1，a_n+2，证明：．

Answer

（1）由于数列{an}是无穷常数列，可得，解得a即可；
（2）利用已知可得：0＜a=a1＜a2＜…＜an＜1．通过放缩法即可证明．
（1）【解析】
∵数列{an}是无穷常数列，∴，解得a=1；
（2）证明：∵a1=aa∈（0，1），∴，另一方面，
∴0＜a1＜a2＜1．
依此类推可得：0＜a=a1＜a2＜…＜an＜1．
∴，∴，
∴，
即，
同理可得．
∴左边
∵，
同理，．
∴左边＜=右边．
∴左边＜右边．