Question

已知函数f（x）=，a＞0．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a=1时，若不等式f（x）-k＜0在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）对函数f（x）求导，令f′（x）=0得x=ea，可知f（x）有极大值为f（ea）=e-a；
（Ⅱ）由于不等式f（x）-k＜0等价于在（0，+∞）上恒成立，可设求出g（x）的最大值，即可得到k的范围．
【解析】
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．  
，令f′（x）=0得x=ea     
当x∈（0，ea），f′（x）＞0，f（x）为增函数；   
当x∈（ea，+∞），f′（x）＜0，f（x）为为减函数，
可知f（x）有极大值为f（ea）=e-a；
（Ⅱ）由于a=1，所以不等式f（x）-k＜0在区间（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，
设
由（Ⅰ）知，g（x）在x=e处取得最大值，
∴．