Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，
（I）设b_n=a_n+n，证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{nb_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若c_n=-a_n，P=，求不超过P的最大整数的值．

Answer

（Ⅰ） 由，令n=1可求a1，n≥2时，利用an=sn-sn-1可得an与an-1之间的递推关系，构造等可证等比数列
（Ⅱ）  由（Ⅰ）可求nbn，利用错位相减法可求数列的和
（Ⅲ）由（Ⅰ）可求，进而可求cn，代入P中利用裂项求和即可求解
【解析】
（Ⅰ） 因为
当n=1时，2a1=-1，则a1=-，…．（1分）
当n≥2时，，…．（2分）
所以2an-an-1=-n-1，即2（an+n）=an-1+n-1，
所以，而b1=a1+1=，…．（3分）
所以数{bn}是首项为，公比为的等比数列，
所以．…．（4分）
（Ⅱ）  由（Ⅰ）得．
所以  ①
②…．（6分）
②-①得：…．（7分）
…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知
∴cn=n…（9分）
而==
==，…（11分）
所以，
故不超过P的最大整数为2013．…..（14分）