Question

函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜）在一个周期内的图象如图所示，P（x，y）是图象的最髙点，Q是图象的最低点，M（3，0）是线段PQ与x轴的交点，且．
（I）求出点P的坐标；
（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅲ）将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位后得到函数y=g（x）的图象，试求函数h（x）=f（x）•g（x）的单调递增区间．试求函数h（x）=f（x）•g（x）的单调递增区间．

Answer

（I）由cos∠POM=得sin∠POM=，|OP|=，利用三角函数的定义可求得点P的坐标；
（Ⅱ）由（I）得A=2，T=3-1=2，可求得ω，再由×1+φ=可求得φ，从而可得函数f（x）的解析式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）=2sin（x+），而g（x）=f（x-2）=2sin（x-），可求得h（x）=f（x）g（x）=-2cosx，利用余弦函数的单调性可求得h（x）的单调增区间．
【解析】
（I）由cos∠POM=得sin∠POM=．
∵|OP|=，=，=，
∴x=1，y=2，…（2分）
∴P（1，2），…（3分）
（II） 设函数f（x）的最小正周期为T，
由（I）得A=2，
∵M（3，0）为曲线上的一个零点，
由图知T=3-1=2，T=8，
∴ω=，…（4分）
又由图得：×1+φ=，
∴φ=，
∴f（x）=2sin（x+）…（6分）
（Ⅲ）g（x）=f（x-2）=2sin（x-），…（8分）
h（x）=f（x）g（x）=4sin（x+）sin（x-）=2（-）=-2cosx…（10分）
由2kπ＜x＜π+2kπ，k∈Z得4k＜x＜2+4k，k∈Z，
∴h（x）的单调增区间为（4k，2+4k）（k∈Z）．（12分）