Question

如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e₁；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e₂，则e₁+e₂的取值范围为 （ ）

A．[2，+∞）
B．（，+∞）
C．[，+∞）
D．（，+∞）

Answer

连接BD、AC，设∠DAB=θ，θ∈（0，），根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的性质可得到a的值，再由AB=2c，e=可表示出e1，同样表示出椭圆中的c'和a'表示出e2的关系式，最后令e1、e2相乘即可得到e1e2的值，最后利用基本不等式求出e1+e2的取值范围即可．
【解析】
连接BD，AC，设∠DAB=θ，θ∈（0，），
则BD==，
∴双曲线中a=，e1=．
∵AC=BD，
∴椭圆中CD=2t（1-cosθ）=2c′，
∴c'=t（1-cosθ），
AC+AD=+1，
∴a'=（ +1）
e2==，
∴e1e2=×=1，
∴e1+e2=2，即则e1+e2的取值范围为[2，+∞）．
故选A．