Question

已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x，使得f（x）=f′（x），则称x是f（x）的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是    ．（填上正确的序号）
①f（x）=x²，
②f（x）=e^-x，
③f（x）=lnx，
④f（x）=tanx，
⑤f（x）=x+．

Answer

分别求函数的导数，根据条件f（x）=f′（x），确实是否有解即可．
【解析】
①中的函数f（x）=x2，f'（x）=2x．要使f（x）=f′（x），则x2=2x，解得x=0或2，可见函数有巧值点；
对于②中的函数，要使f（x）=f′（x），则e-x=-e-x，由对任意的x，有e-x＞0，可知方程无解，原函数没有巧值点；
对于③中的函数，要使f（x）=f′（x），则lnx=，由函数f（x）=lnx与y=的图象它们有交点，因此方程有解，原函数有巧值点；
对于④中的函数，要使f（x）=f′（x），则，即sinxcosx=1，显然无解，原函数没有巧值点；
对于⑤中的函数，要使f（x）=f′（x），则，即x3-x2+x+1=0，设函数g（x）=x3-x2+x+1，g'（x）=3x2+2x+1＞0且g（-1）＜0，g（0）＞0，
显然函数g（x）在（-1，0）上有零点，原函数有巧值点．
故答案为：①③⑤．