Question

已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F₁，F₂，点P是右准线上任意一点，过F₂作直线PF₂的垂线F₂Q交椭圆于Q点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N，在线段MN上取点H，满足，试证明点H恒在一定直线上．

Answer

（1）由题意可得，解出即可；
（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y），Q（x1，y1），由PF2⊥F2Q，可得，利用斜率计算公式可得kPQ•kOQ及代入化简得直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．
（3）设过P（3，3）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2），点H（x，y），由点M，N在椭圆上可得，．
设，则，可得（3-x1，3-y1）=-λ（x2-3，y2-3），（x-x1，y-y1）=λ（x2-x，y2-y），即可证明6x+9y为定值．
【解析】
（1）由题意可得，解得，c=1，
所以椭圆E：．
（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，
设P（3，y），Q（x1，y1），
因为PF2⊥F2Q，所以，
所以-y1y=2（x1-1）
又因为且代入化简得．
即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．
（3）设过P（3，3）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2），点H（x，y），
则，．
设，则，
∴（3-x1，3-y1）=-λ（x2-3，y2-3），（x-x1，y-y1）=λ（x2-x，y2-y）
整理得，，
∴从而，
由于，，∴我们知道与的系数之比为2：3，与的系数之比为2：3．
∴，
所以点H恒在直线2x+3y-2=0上．