Question

设函数f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x＞-1）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）试通过研究函数g（x）=（x＞0）的单调性证明：当n＞m＞0时，（1+n）^m＜（1+m）ⁿ；
（Ⅲ）证明：当n＞2013，且x₁，x₂，x₃，…，x_n均为正实数，x₁+x₂+x₃+…+x_n=1 时，＞．

Answer

（Ⅰ）由导数与函数单调性的关系知，可先求出函数的导函数，然后令导函数大于0或小于0，解此不等式，所得的解集即为函数的单调区间；
（Ⅱ）求出g′（x），得到函数g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，从而得到函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，进而得证；
（Ⅲ）由柯西不等式，得到，
再由（Ⅱ）可知，，进而得到，即得证．
【解析】
（Ⅰ）由f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x＞-1）有f′（x）=-ln（x+1），…（1分）
当-1＜x＜0，即f′（x）＞0时，f（x）单调递增；
当x＞0，即f′（x）＜0时，f（x）单调递减；
所以f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为（0，+∞）．      …（3分）
（Ⅱ）设g（x）=（x＞0），则，…（5分）
由（Ⅰ）知f（x）=x-（x+1）ln（x+1）在（0，+∞）上是减函数，且f（0）=0，
∴g′（x）＜0在在（0，+∞）恒成立，从而得到函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，
又当n＞m＞0时，∴g（n）＜g（m），得，
∴mln（n+1）＜nln（m+1），即：（1+n）m＜（1+m）n．…（8分）
（Ⅲ）由x1+x2+x3+…+xn=1，及柯西不等式：
（1+n）
+…2
=（x1+x2+x3+…+xn）2=1，
所以，
．…（11分）
又n＞2013，由（Ⅱ）可知，
即，即．
则≥．
故．…（14分）