Question

已知数列{a_n}的各项均为正整数，S_n为其前n项和，对于n=1，2，3，…，有a_n+1=
（Ⅰ）当a₃=5时，a₁的最小值为    ；
（Ⅱ）当a₁=1时，S₁+S₂+…+S₁₀=    ．

Answer

（I）利用定义可得，对k讨论即可得出；
（II）当a1=1时，a2=3×a1+5=8，=，当k=1时，a3=4不满足条件；当k=2时，a3=2不满足条件；当k=3时，a3=1满足条件．
依此类推可得其周期性即可得出．
【解析】
（I）a3=5时，a2不可能为奇数，否则，由5=3a2+5，得出a2=0矛盾，∴a2必为偶数．
∴，得，
①当k取最小正整数1时，a2=10为偶数．a1只能为奇数，则10=a2=3a1+5，无解．
②当k取正整数2时，a2=20为偶数．a1只能为奇数，则20=a2=3a1+5，a1=5．
因此a1的最小值为5．
（II）当a1=1时，a2=3×a1+5=8，=，当k=1时，a3=4不满足条件；当k=2时，a3=2不满足条件；当k=3时，a3=1满足条件．
依此类推可得：a4=a6=a8=a10=a2=8，a3=a5=a7=a9=a1=1．
∴S1+S2+…+S10=10a1+9a2+8a3+…+2a9+a10
=30a1+25a2
=30×1+25×8
=230．
故答案分别5，230．