Question

如图，直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA₁=AC=CB=AB．
（Ⅰ）证明：BC₁∥平面A₁CD
（Ⅱ）求二面角D-A₁C-E的正弦值．

Answer

（Ⅰ）通过证明BC1平行平面A1CD内的直线DF，利用直线与平面平行的判定定理证明BC1∥平面A1CD
（Ⅱ）证明DE⊥平面A1DC，作出二面角D-A1C-E的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．
【解析】
（Ⅰ）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，
又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，
因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD．
（Ⅱ）因为直棱柱ABC-A1B1C1，所以AA1⊥CD，
由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，
又AA1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB1A1，
设AB=2，则AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，
CD=，A1D=，DE=，A1E=3
故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，
又A1C=2，过D作DF⊥A1C于F，∠DFE为二面角D-A1C-E的平面角，
在△A1DC中，DF==，EF==，
所以二面角D-A1C-E的正弦值．sin∠DFE=．