Question

设公差不为0的等差数列{a_n}的首项为1，且a₂，a₅，a₁₄构成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足，n∈N^*，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由a2，a5，a14构成等比数列得关于d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得an；
（Ⅱ）由条件可知，n≥2时，=1--（1-）=，再由（Ⅰ）可求得bn，注意验证n=1的情形，利用错位相减法可求得Tn；
【解析】
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），
∵a2，a5，a14构成等比数列，
∴=a2a14，即（1+4d）2=（1+d）（1+13d），
解得d=0（舍去），或d=2．
∴an=1+（n-1）×2=2n-1．
（Ⅱ）由已知，，n∈N*，
当n=1时，=；
当n≥2时，=1--（1-）=．
∴=，n∈N*．
由（Ⅰ），知an=2n-1，n∈N*，
∴bn=，n∈N*．
又Tn=+++…+，
则Tn=++…++．
两式相减，得Tn=+（++…+）-=--，
∴Tn=3-．