Question

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，已知AB=2，AD=EF=1．
（Ⅰ）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；
（Ⅱ）设平面CBF将几何体EF-ABCD分割成的两个锥体的体积分别为V_F-ABCD、V_F-CBE，求V_F-ABCD：V_F-CBE的值．

Answer

（Ⅰ）如图，设FD的中点为N，连结AN，MN，证明MNAO为平行四边形，可得OM∥AN．再利用直线和平面平行的判定定理证得 OM∥平面DAF．
（Ⅱ）如图，过点F作FG⊥AB于G，可得FG⊥平面ABCD．先求得 VF-ABCD 的值，再用等体积法求得VF-CBE=VC-BEF= S△BEF•CB的值，可得 VF-ABCD：VF-CBE 的值．
【解析】
（Ⅰ）如图，设FD的中点为N，连结AN，MN．
∵M为FC的中点，∴MN∥CD，MN=CD．
又AO∥CD，AO=CD，∴MN∥AO，MN=AO，
∴MNAO为平行四边形，∴OM∥AN．
又OM⊄平面DAF，AN⊂平面DAF，∴OM∥平面DAF．…（6分）
（Ⅱ）如图，过点F作FG⊥AB于G，∵平面ABCD⊥平面ABEF，∴FG⊥平面ABCD．
∴VF-ABCD= SABCD•FG=FG．
∵CB⊥平面ABEF，∴VF-CBE=VC-BEF= S△BEF•CB=•EF•FG•CB=FG．
∴VF-ABCD：VF-CBE=：=4．…（13分）