Question

四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，共有的取法数（ ）
A．141
B．144
C．150
D．210

Answer

由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去不合题意的结果，即得所求．
【解析】
从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．
第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；
第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；
第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），
它的4顶点共面，有3种，以上三类情况不合要求应减掉，
∴不同的取法共有C104-4C64-6-3=141种，
故选A．