Question

某商场准备在伦敦奥运会期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种品牌的服装类商品、2种品牌的家电类商品、4种品牌的日用类商品中，任选出3种商品进行促销活动．
（Ⅰ）求选出的3种商品中至少有一种是日用类商品的概率；
（Ⅱ）商场对选出的家电类商品采用的促销方案是有奖销售，即在该类商品成本价的基础上每件提高180元作为售价销售给顾客，同时给该顾客3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设该顾客每次抽奖时获奖的概率都是，每次中奖与否互不影响，且每次获奖时的奖金数额都为x元，求顾客购买一件此类商品时中奖奖金总额ξ的分布列和数学期望Eξ，并以此测算x至多为多少时，此促销方案使商场不会亏本？

Answer

（I）设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A，利用间接法能求出选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率．
（Ⅱ）设顾客抽奖的中奖奖金总额为ξ，则ξ的可能取值为0，x，2x，3x，分别求出P（ξ=0），P（ξ=x），P（ξ=2x），P（ξ=3x），由此能求出顾客中奖次数的数学期望Eξ，从而能求出此促销方案使商场不会亏本的每次中奖的奖金数额．
【解析】
（I）设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A，
则P（A）=1-=．
即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为．
（Ⅱ）设顾客抽奖的中奖奖金总额为ξ，则ξ的可能取值为0，x，2x，3x，
P（ξ=0）=（1-）（1-）（1-）=，
P（ξ=x）==，
P（ξ=2x）==，
P（ξ=3x）==，
∴顾客中奖次数的数学期望Eξ=0×+x×+2x×+3x×=，
设商场将每次中奖的奖金额定为x元，则≤180，解得x≤120，
即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使商场不亏本．