Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，前n项和S_n=2a_n-n，（n∈N^*）
（1）证明：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）试比较S_n与2-n的大小关系．

Answer

（1）令n=1代入所给的式子求出a1+1的值，再由n≥2时，an=Sn-Sn，代入化简得到数列的递推公式，再求出是常数，则结论得证；
（2）根据（1）和等比数列的通项公式求出an，再代入Sn=2an-n化简，再作差：Sn-（2-n）并变形，由n的范围判断出符号，得到二者的大小关系．
【解析】
（1）当n=1时，a1=S1=2a1-1，
∴a1=1，解得a1+1=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn=2an-2an-1-1，
∴an=2an-1+1，
∴
∴数列{an+1}是以2为首项以2为公比的等比数列．
（2）由（1），
∴
又∵n∈N*，n≥1，
∴
∴Sn≥2-n．