Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为4的菱形，且∠BAD=60°，N是PB的中点，过A，D，N的平面交PC于M，E是AD的中点．
（1）求证：BC⊥平面PEB；
（2）求证：M为PC的中点；
（3）求四棱锥M-DEBC的体积．

Answer

（1）利用余弦定理、勾股定理的逆定理、等边三角形的性质、线面垂直的判定和性质定理即可证明；
（2）利用线面平行的判定和性质定理、平行线分线段成比例的判定和性质定理即可得出；
（3）四棱锥M-DEBC的体积为．
证明：（1）如图所示：不妨设AB=2．
∵四边形ABCD为边长为2的菱形，且∠BAD=60°，E为AD中点．
在△ABE中，由余弦定理可得BE2=12+22-2×1×2cos60°=3．
∴AE2+BE2=AB2．
∴∠BAE=90°．
∴BE⊥AD，
又∵△PAD为正三角形，E为AD的中点，∴PE⊥AD．
∵PE∩BE=E，∴AD⊥平面PBE．
∵AD∥BC，
∴BC⊥平面PBE．
（2）∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC．
又∵平面ADN∩平面PBC=MN，∴AD∥MN．
∴MN∥BC，
∵N为PB中点，
∴M为PC中点．
（3）由于侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，
则△PAD的高PE即为四棱锥M-DEBC的高的2倍，
由于四棱锥M-DEBC的体积为．且PE=4×=2，
又由（1）知，BE⊥AD
故S四边形DEBC=
故四棱锥M-DEBC的体积为．