Question

已知F₁，F₂为椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆上的点到F₂的最近距离为2，且离心率为．
（1）椭圆C的方程；
（2）设点A（-1，2），若P是椭圆C上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
（3）若E是椭圆C上的动点，求的最大值和最小值．

Answer

（1）由题意得到关于a，c的方程组，求出a，c后利用b2=a2-c2求出b则椭圆方程可求；
（2）设出M点的坐标，利用中点坐标公式用M的坐标表示P的坐标，代入椭圆方程后即可得到M的轨迹方程；
（3）设出E点坐标，代入椭圆方程得到E点横纵坐标的关系，写出向量和的坐标，直接代入数量积后可求范围．
【解析】
（1）由条件知，解得c=1，a=3．
则b2=a2-c2=8．
所以椭圆C：；
（2）设M（x，y），因为M为PA的中点，所以P（2x+1，2y-2）．
又因为点P在椭圆上，所以即为所求点M的轨迹方程；
（3）设E（x，y），则有．
因为F1（-1，0），F2（1，0）．
所以
=．
因为点E在椭圆上，所以0．
所以．
所以当时，所求最小值为7，当时，所求最大值为8．