Question

已知椭圆E：．
（1）在直线l：x-y+2=0上取一点P，过点P且以椭圆E的焦点为焦点的椭圆中，求长轴最短的椭圆C的方程；
（2）设P，Q，R，N都在椭圆C上，F为右焦点，已知，且=0，求四边形PRQN面积S的取值范围．

Answer

（1）由椭圆方程求出其两个焦点的坐标，利用在直线上取一点，使该点到直线同侧两点距离之和最小的方法得到长轴最短时的椭圆C的长半轴，进一步求出短半轴，则椭圆C的方程可求；
（2）当直线PQ的斜率存在且不等于0时，联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式求出|PQ|，
同理求出|RN|，代入平行四边形面积公式后利用基本不等式求面积的范围，当斜率不存在或斜率等于0时直接由面积公式求面积，取并集后可得答案．
【解析】
（1）设椭圆E：的左右焦点为．
又设F1关于l的对称点．
当点P为与l的交点时，长轴最短．
此时，
∴a2=3，∵c2=2，∴b2=1．
∴椭圆C：；
（2）当直线PQ的斜率k存在，且k≠0时，设直线PQ方程为y=k（x-）
由，得．
．

=
=．
同理求得|RN|==．
∴S==
==
∵，∴S．
当k不存在或k=0时，=2．
综上，S∈[]．