Question

符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[-1.08]=-2，定义函数{x}=x-[x]，给出下列四个命题：
（1）函数{x}的定义域为R，值域为[0，1]；
（2）方程{x}=有无数个解；
（3）函数{x}是周期函数；
（4）函数{x}是增函数．
其中正确命题的个数有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

利用[x]的定义，结合函数的定义域，值域周期性和单调性的定义分别进行判断．由周期函数的定义证明此函数为周期函数，使求出一个周期的上的值域，即为整个函数的值域，周期函数不是单调函数
【解析】
①当0≤x＜1时，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函数{x}的值域为[0，1），∴①错误．
②当x=时，{x}=，又∵函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，∴x=+k时（k∈Z），{x}=，∴②是正确的，
③∵函数{x}的定义域为R，又∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，∴函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，∴③是正确的，
④∵函数{x}是周期为1的函数，∴函数{x}不是单调函数，∴④错误
故选B．