Question

已知g（x）=|x-1|-|x-2|，则g（x）的值域为    ；若关于x的不等式g（x）≥a²+a+1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围是    ．

Answer

根据绝对值的意义可得-1≤g（x）≤1，从而得到g（x）的值域．
由题意可得g（x）＜a2+a+1的解集为R，即g（x）＜a2+a+1恒成立，故有a2+a+1＞1，由此求得实数a
的取值范围．
【解析】
由于已知g（x）=|x-1|-|x-2|，表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到2对应点的距离，
则-1≤g（x）≤1，故g（x）的值域为[-1，1]．
若关于x的不等式g（x）≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，则有g（x）＜a2+a+1的解集为R，
即g（x）＜a2+a+1恒成立，故有a2+a+1＞1，解得a＜-1，或a＞1．
故实数a的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞），
故答案为[-1，1]、（-∞，-1）∪（1，+∞）．