Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E是AB的中点．
（1）求三棱锥D₁-DCE的体积；
（2）求证：D₁E⊥A₁D；
（3）求二面角D₁-EC-D的正切值．

Answer

（1）根据长方体的几何特征可得DD1是三棱锥D1-DCE的高，由勾股定理可得底面DEC为直角三角形，代入棱锥体积公式，可得答案．
（2）以D为原点，DA为x轴建立空间坐标系D-xyz，分别求出D1E和A1D的方向向量，根据向量垂直的充要条件可得D1E⊥A1D；
（3）分别求出平面D1EC的法向量和平面CDE的一个法向量，代入向量夹角公式可得答案．
【解析】
（1）由长方体性质可得，DD1⊥面DCE，所以DD1是三棱锥D1-DCE的高，
又点E是AB的中点，AD=AA1=1，AB=2，
所以，DE=CE=，则DE2+EC2=CD2
∴∠DEC=90° …（2分）
∴三棱锥D1-DCE的体积V=•DD1••DE•CE=×1×××=…（4分）
（2）如图，以D为原点，DA为x轴建立空间坐标系D-xyz
因为点E是AB的中点，且AD=AA1=1，AB=2，
则D1（0，0，1），E（1，1，0），A1（1，0，1），D（0，0，0），C（0，2，0）
∴=（1，1，-1），=（-1，0，-1）…（6分）
∵•=0
所以，⊥
即D1E⊥A1D…（8分）
（3）设=（x，y，z）是平面D1EC的法向量，
则，即
令x=1得=（1，1，2）…（10分）
又=（0，0，1）是平面CDE的一个法向量，
设二面角D1-EC-D的平面角为θ
则cosθ==
则sinθ=
则tanθ=
故二面角D1-EC-D的正切值为．…（13分）