Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD⊥PA，DB平分∠ADC，E为PC的中点，∠DAC=45°，AC=．
（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）若PD=2，BD=2，求四棱锥E-ABCD的体积．

Answer

（Ⅰ）设AC∩BD=F，证明CD⊥平面PAD，可得CD⊥AD．再由∠DAC=45°，DA=DC，可得△ADC为等腰直角三角形．根据DB平分∠ADC，可得F为AC中点，EF为△CPA的中位线，可得故有EF∥PA，再根据直线和平面平行的判定定理证得 PA∥平面BDE．
（Ⅱ）底面四边形ABCD的面积记为S，由于AC=，可得AD=DC=1，求得 S=S△ADC+S△ABC=•AC•BD 的值，再根据点E为线段PC的中点，可得 =×，运算求得结果．
【解析】
（Ⅰ）设AC∩BD=F，连接EF，∵PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥CD．
又∵CD⊥PA，PD∩PA=P，PD，PA⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∵AD⊂平面PAD，∴CD⊥AD．…（2分）
∵∠DAC=45°，∴DA=DC，∴△ADC为等腰直角三角形．…（3分）
∵DB平分∠ADC，故F为AC中点，EF为△CPA的中位线．…（4分）
故有EF∥PA，而EF⊂平面BDE，PA不在平面BDE内，∴PA∥平面BDE．…（6分）
（Ⅱ）底面四边形ABCD的面积记为S，由于AC=，∴AD=DC=1，
则 S=S△ADC+S△ABC=•AC•BD==2．  …（9分）
∵点E为线段PC的中点，∴=×==．  …（12分）