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满分5
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高中数学试题
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设f(x)=ex(ax2+x+1),且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行...
设f(x)=e
x
(ax
2
+x+1),且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行.
(1)求a的值,并讨论f(x)的单调性;
(2)证明:当
.
(1)先对函数f(x)进行求导,然后根据在x=1处的导数值等于其切线的斜率可求a的值,然后当f'(x)<0时可求函数的单调递减区间,当f'(x)>0时可求函数的单调递增区间. (2)先确定函数f(x)在[0,1]单调增,求出最大值和最小值,故根据任意x1,x2∈[0,1],有|f(x1)-f(x2)|≤e-1<2,将cosθ、sinθ代入即可得到答案. 【解析】 (Ⅰ)f'(x)=ex(ax2+x+1+2ax+1). 由条件知,f'(1)=0,故a+3+2a=0⇒a=-1. 于是f'(x)=ex(-x2-x+2)=-ex(x+2)(x-1). 故当x∈(-∞,-2)∪(1,+∞)时,f'(x)<0; 当x∈(-2,1)时,f'(x)>0. 从而f(x)在(-∞,-2),(1,+∞)单调减少,在(-2,1)单调增加. (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在[0,1]单调增加, 故f(x)在[0,1]的最大值为f(1)=e, 最小值为f(0)=1. 从而对任意x1,x2∈[0,1],有|f(x1)-f(x2)|≤e-1<2. 而当时,cosθ,sinθ∈[0,1]. 从而|f(cosθ)-f(sinθ)|<2
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考点分析:
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如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,CD⊥PA,DB平分∠ADC,E为PC的中点,∠DAC=45°,AC=
.
(Ⅰ)证明:PA∥平面BDE;
(Ⅱ)若PD=2,BD=2
,求四棱锥E-ABCD的体积.
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为了比较“传统式教学法”与我校所创立的“三步式教学法”的教学效果.共选100名学生随机分成两个班,每班50名学生,其中一班采取“传统式教学法”,二班实行“三步式教学法”
(Ⅰ)若全校共有学生2000名,其中男生1100名,现抽取100名学生对两种教学方式的受欢迎程度进行问卷调查,应抽取多少名女生?
(Ⅱ)下表1,2分别为实行“传统式教学”与“三步式教学”后的数学成绩:
表1
数学成绩
90分以下
90-120分
120-140分
140分以上
频 数
15
20
10
5
表2
数学成绩
90分以下
90-120分
120-140分
140分以上
频 数
5
40
3
2
完成下面2×2列联表,并回答是否有99%的把握认为这两种教学法有差异.
班 次
120分以下(人数)
120分以上(人数)
合计(人数)
一班
二班
合计
参考数据:
P(K
2
≥k
)
0.40
0.25
0.10
0.05
0.010
0.005
k
0.708
1.323
2.706
3.841
6.635
7.879
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在等差数列{a
n
}中,S
n
为其前n项和(n∈N
*
),且a
3
=5,S
3
=9.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
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下面有四个命题:
①函数y=sin
4
x-cos
4
x的最小正周期是π;
②函数y=3sinx+4cosx的最大值是5;
③把函数
的图象向右平移
得y=3sin2x的图象;
④函数
在(0,π)上是减函数.
其中真命题的序号是
.
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三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直且长度分别为2cm,2cm,1cm,则其外接球的表面积是
cm
2
.
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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