Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程
为ρsin²θ=2acosθ（a＞0），过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|²，求a的值．

Answer

（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数t即可得到直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）将直线L的参数方程，代入曲线C的方程，利用参数的几何意义即可得出|PA|•|PB|，从而建立关于a的方程，求解即可．
【解析】
（I）由ρsin2θ=2acosθ（a＞0）得ρ2sin2θ=2aρcosθ（a＞0）
∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）…（2分）
直线l的普通方程为y=x-2…（4分）
（II）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=2ax中，
得t2-2（4+a）t+8（4+a）=0
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2
则有t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）…（6分）
∵|PA|⋅|PB|=|AB|2
∴t1t2=（t1-t2）2，即（t1+t2）2=5t1t2…（8分）
∴[2（4+a）]2=40（4+a）
化简得，a2+3a-4=0
解之得：a=1或a=-4（舍去）
∴a的值为1…（10分）