Question

在△ABC中，内角A，B，C，对边的边长分别是a，b，c，若B，A，C三角成等差数列，且a，b，c，三边成等差数列，
（1）求的值．
（2）探求sinB+sinC取值范围．

Answer

由三角成等差数列得到A为60°，B+C=120°，由三边成等差数列得到2b=a+c，利用正弦定理化简，整理后求出sin的范围，确定出B的范围，进而确定出三内角都为60°，即三角形ABC为等边三角形，
（1）将B为60°及b=c代入计算即可求出值；
（2）将B与C度数代入计算即可求出值．
【解析】
∵B，A，C三角成等差数列，∴2A=B+C，即A=60°，且B+C=120°，
∵a，b，c三边成等差数列，∴2b=a+c，
由正弦定理得2sinB=sinA+sinC，即2sincos=2sincos=2coscos，
∴2sin=cos≤1，即sin≤，
∴0＜B≤60°，
若a≤b≤c，可得A≤B≤C，即A=B=C=60°；
若c≤b≤a，可得C≤B≤A，即A=B=C=60°，
∴△ABC为等边三角形，即a=b=c，
（1）==；
（2）sinB+sinC=+=．