Question

已知数列a₁=1，a_n+1=a_n²+4a_n+2，
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设b_n=+，设数列{b_n}的前n项的和S_n．试证明：S_n＜1．

Answer

（1））由已知数列a1=1，an+1=an2+4an+2，变形为＞0，两边取对数可得ln（an+1+2）=2ln（an+2），转化为等比数列即可得出；
（2）利用（1）变形，再利用“裂项求和”即可得出．
【解析】
（1）∵数列a1=1，an+1=an2+4an+2，
∴＞0，
∴两边取对数可得ln（an+1+2）=2ln（an+2）
∴数列{ln（an+2）}是以ln（a1+2）=ln3为首项，2为公比的等比数列．
∴，
∴，即．
（2）∵，
∴=（an+1）（an+3），
∴=，
∴，
∴bn==，
∴Sn=…+
===．
∵n∈N*，∴，
∴Sn＜1．