Question

已知函数f（x）=2sin²x+2sinxcosx+1．求：
（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的单调递减区间；
（3）f（x）在[0，]上的值域．

Answer

（1）利用三角恒等变换公式，化简得（x）=2sin（2x-）+2，再由三角函数的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；
（2）根据正弦函数的图象与性质，解关于x的不等式+2kπ≤2x-≤+2kπ（k∈Z），即可得到f（x）的单调递减区间；
（3）由当x∈[0，]时2x-∈[-，]，结合正弦函数的单调性，即可得到f（x）在[0，]上的值域．
【解析】
（1）f（x）=2sin2x+2sinxcosx+1
=1-cos2x+sin2x+1=2sin（2x-）+2
∴f（x）的最小正周期T==π；
（2）令+2kπ≤2x-≤+2kπ（k∈Z）
解得-+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），
因此，f（x）的单调递减区间为[-+kπ，+kπ]，（k∈Z）
（3）当x∈[0，]时，2x-∈[-，]
可得当x=0时，sin（2x-）有最小值为-；当x=时，sin（2x-）有最大值为1
∴f（x）在[0，]上最大值为f（）=4；最小值为f（-）=1
可得f（x）在[0，]上的值域为[1，4]．