Question

已知向量，，A，B，C为锐角△ABC的内角，其对应边为a，b，c．
（Ⅰ）当取得最大值时，求角A的大小；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，当a=时，求b²+c²的取值范围．

Answer

（I）根据向量数量积的公式，化简得=cosA+2sin，结合二倍角的余弦公式化简得=-（sin-）2+，利用二次函数的性质可得取得最大值时，sin=，结合A为三角形的内角算出A=；
（II）由A=且a=，利用余弦定理化简得b2+c2-bc=3，根据基本不等式bc≤（b2+c2），算出b2+c2≤6．在根据三角形中b+c＞a，即可得出b2+c2的取值范围．
【解析】
（I）∵向量，，
∴=2sin-cos（B+C）
=cosA+2sin=-2sin2+2sin+1=-（sin-）2+
因此，当取得最大值时，sin=，
结合A为三角形的内角，可得=，得A=；
（II）在（Ⅰ）成立的条件下，A=
∵a=，∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得b2+c2-bc=3
因此，b2+c2-3=bc≤（b2+c2），可得b2+c2≤6
当且仅当b=c=时，等号成立
又∵△ABC中，b+c＞a
∴3＜b2+c2≤6，即b2+c2的取值范围（3，6]．