Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AB=BC=AC，E是PC的中点．
（1）求证：PD⊥平面ABE；
（2）求二面角A-PD-C的平面角的正弦值．

Answer

（1）根据线面垂直的性质及CD⊥AC结合线面垂直的判定定理可得CD⊥面PAC，进而CD⊥AE，根据等腰三角形三线合一，可得AE⊥PC，进而AE⊥面PCD，可得AE⊥PD，进而根据BA⊥PD，得到故PD⊥面ABE
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，分别求出平面APD和平面PCD的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，
∴CD⊥PA
又CD⊥AC，PA∩AC=A，PA，AC⊂面PAC
故CD⊥面PAC
又∵AE⊆面PAC，
故CD⊥AE…（4分）
又PA=AC，E是PC的中点，故AE⊥PC
∵CD∩PC=C，CD，PC⊂面PCD
从而AE⊥面PCD，
∵PD⊂面PCD
故AE⊥PD
易知BA⊥PD，
故PD⊥面ABE…（6分）
（2）如图建立空间直角坐标系，设AC=a，
则A（0，0，0）、P（0，0，a）、B（a，0，0）、，，
从而，，…（9分）
设为平面PDC的法向量，
则可以取  …（11分）
又为平面PAD的法向量，
若二面角A-PD-C的平面角为θ
则  …（11分）
因此．…（12分）