Question

在一次数学考试中，第22，23，24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为，每位学生对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响．
（1）求其中甲、乙两人选做同一题的概率；
（2）设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer

（1）设事件A1表示甲选22题，A2表示甲选23题，A3表示甲选24题，B1表示乙选22题，B2表示乙选23题，B3表示乙选24题，则甲、乙两人选做同一题事件为A1B1+A2B2+A3B3，根据独立事件概率乘法公式，可得答案．
（2）ξ可能取值为0，1，2，3，4，5．结合5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为，可计算出ξ的分布列及数学期望
【解析】
（1）设事件A1表示甲选22题，A2表示甲选23题，A3表示甲选24题，
B1表示乙选22题，B2表示乙选23题，B3表示乙选24题，
则甲、乙两人选做同一题事件为A1B1+A2B2+A3B3，
且A1与B1，A2与B2，A3与B3相互独立，
所以…（4分）
（2）ξ可能取值为0，1，2，3，4，5．
且5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为，
∴，k=0，1，2，3，4，5
∴分布列为

ξ 1 2 3 4 5
P

∴…（12分）