Question

设函数f（x）=x²（e^x-1）+ax³
（1）当时，求f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）先确定函数的定义域然后求出函数的导涵数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间，
（2）由于f（x）=x2（ex-1）+ax3=x2（ex-1+ax），令g（x）=ex-1+axx∈[0，+∞），求其导数g′（x）=ex+a，下面就a的值分类讨论，利用导数工具研究函数的单调性和最值，即可得a的取值范围．
【解析】
（1）当时，f′（x）=2x（ex-1）+x2ex-x2=（2x+x2）（ex-1）
令f′（x）＞0，得x＞0或-2＜x＜0；令f′（x）＜0，得x＜-2∴f（x）的单调递增区间为（-2，0），（0，+∞）f（x）的单调递减区间为（-∞，-2）…（4分）
（2）f（x）=x2（ex-1）+ax3=x2（ex-1+ax）
令g（x）=ex-1+axx∈[0，+∞）g′（x）=ex+a
当a≥-1时，g′（x）=ex+a＞0，g（x）在[0，+∞）上为增函数．
而g（0）=0，从而当x≥0时，g（x）≥0，即f（x）≥0恒成立．
若当a＜-1时，令g′（x）=ex+a=0，得x=ln（-a）
当x∈（0，ln（-a））时，g′（x）＜0，g（x）在（0，ln（-a））上是减函数，
而g（0）=0，从而当x∈（0，ln（-a））时，g（x）＜0，即f（x）＜0
综上可得a的取值范围为[-1，+∞）．…（12分）