Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，已知PA与圆O相切于点A，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D
（Ⅰ）求证：PA=PD；
（Ⅱ）求证：AC•AP=AD•OC．

Answer

（I）根据弦切角定理，可得∠PAB=∠ACB，根据圆周角定理可得∠BAC=90°，结合BC⊥OP，根据同角的余角相等及对顶角相等可得∠PDA=∠PAB，即△PAD为等腰三角形
（II）连接OA，结合（I）中结论，可得△OAC∽△PAD，根据相似三角形对应边成比例，可得AC•AP=AD•OA，再由OA，OC均为圆半径，长度相等，可得答案．
证明：（I）∵PA与圆O相切于点A，
∴∠PAB=∠ACB
∵BC为圆O的直径，
∴∠BAC=90°
∴∠ACB=90°-∠B
∵BC⊥OP，
∴∠BDO=90°-∠B
∴∠BDO=∠PDA=∠PAB
即△PAD为等腰三角形
∴PA=PD；
（Ⅱ）连接OA
在△OAC和△PAD中
∴∠OAC=∠OCA=∠PDA=∠PAB
∴△OAC∽△PAD
∴
即AC•AP=AD•OA
又∵OA=OC
∴AC•AP=AD•OC