Question

已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+2f（2），若函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，且f（1）=2，则f（2013）等于（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2

Answer

由函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，结合函数的图象的平移可知函数y=f（x）关于x=0对称，即函数为偶函数，对已知条件赋值可求f（2）=f（-2）=0，可得函数是以4为周期的周期函数，可求
【解析】
∵函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称，即函数y=f（x）为偶函数
∵∀x∈R都有f（x+4）=f（x）+2f（2）
令x=-2可得f（2）=f（-2）+2f（2）
∴f（-2）=-f（2）=f（2）
∴f（2）=f（-2）=0
∴f（x+4）=f（x）即函数是以4为周期的周期函数
∴f（2013）=f（1）=2
故选D