Question

已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；
（3）试证明：对任意n∈N₊，不等式＜恒成立．

Answer

（1）求导函数，确定x=1是f′（x）=0的唯一解，进而利用当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，即可得到函数的单调区间；
（2）利用函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，对m进行分类讨论，确定函数的单调性，即可求得f（x）在[m，2m]上的最大值；
（3）证明在（0，+∞）上恒有-1，当且仅当x=1时，等号成立，即可证得结论．
（1）【解析】
求导函数可得=-
令g（x）=x2+lnx-1，x∈（0，+∞），则g′（x）=2x+＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增
∵x=1时，f′（x）=0，∴x=1是f′（x）=0的唯一解
∵当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0
∴函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减
（2）【解析】
由（1）知，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减
①当0＜2m≤1时，即0＜m≤时，f（x）在[m，2m]上单调递增
∴f（x）max=f（2m）=
②当m≥1时，f（x）在[m，2m]上单调递减
∴f（x）max=f（m）=
③当m＜1＜2m，即时，f（x）max=f（1）=-1
（3）证明：由（1）知，当x∈（0，+∞）时，f（x）max=f（1）=-1
∴在（0，+∞）上恒有-1，当且仅当x=1时，等号成立
∴对任意的x∈（0，+∞）恒有lnx≤x（x-1）
∵，
∴
∴对任意n∈N+，不等式＜恒成立．