Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D，D₁分别为棱BC，B₁C₁的中点．求证：
（Ⅰ）平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）直线A₁D₁∥平面ADC₁．

Answer

（1）利用线面平行的判定定理，只需证明平面外的直线平行于平面内的一条直线，证明A1D1∥AD即可；
（2）利用面面垂直的判定定理，只需证明一个平面经过另一个平面的垂直，证明AD⊥平面BCC1B1即可．
证明：（Ⅰ）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵CC1⊥底面ABC，又AD⊂底面ABC
∴AD⊥CC1…（2分）
∵点D为棱BC的中点∴AD⊥BC，…（4分）CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1CC1∩BC=C，
∴AD⊥平面BCC1B1…（6分）
又∵AD⊂平面ADC1∴平面ADC1⊥平面BCC1B1…（7分）
（Ⅱ）证明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵CC1⊥底面ABC，又AD⊂底面ABC
∴AD⊥CC1…（9分）
∵点D为棱BC的中点，
∴AD⊥BC，…（10分）
CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，CC1∩BC=C，
∴AD⊥平面BCC1B1…（11分）
又∵AD⊂平面ADC1，
∴平面ADC1⊥平面BCC1B1…（12分）